ที่มาก!
จำนวนมากมีอยู่ทุกหนทุกแห่งตั้งแต่เซลล์ในร่างกายมนุษย์จนถึงขนาดของจักรวาล แต่เมื่อตัวเลขก้าวข้ามขอบเขตทางกายภาพ จิตใจของมนุษย์ก็สามารถดิ้นรนที่จะเข้าใจมาตราส่วนอันน่าเกรงขามของตัวเลขเหล่านี้ แม้แต่อินฟินิตี้ก็ดูเข้าใจง่ายกว่าเมื่อเปรียบเทียบ — มันแค่ดำเนินต่อไปเรื่อยๆ Jon Borwein นักคณิตศาสตร์ประยุกต์จาก University of Newcastle ในออสเตรเลียกล่าวว่าเมื่อตัวเลขเริ่มมากพอ ทุกอย่างก็เริ่มพร่าเลือน
“เราไม่เข้าใจตัวเลขในระดับนี้” Borwein กล่าว
ตั้งแต่ล้านล้านที่ต่ำต้อยไปจนถึงตัวเลขของ Graham ต่อไปนี้เป็นตัวเลขที่น่าเหลือเชื่อที่สุดบางส่วน
ใหญ่เป็นญาติ
เมื่อคิดถึงงบประมาณส่วนบุคคล เพดานหนี้ที่สูงถึง 16 ล้านล้านดอลลาร์นั้นแทบจะนึกไม่ถึง สก็อตต์ แอรอนสัน นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ที่ MIT กล่าวว่าเมื่อเทียบกับขนาดของอะตอมในจักรวาล มันดูเล็กน้อยมากเมื่อเปรียบเทียบ
เพื่อพยายามทำความเข้าใจจำนวนมหาศาล คนส่วนใหญ่อาศัยการเปรียบเทียบของขนาด ตัวอย่างเช่นคาร์ล เซแกนเปรียบเสมือนอายุของจักรวาลกับปีปฏิทิน โดยที่มนุษย์ปรากฏขึ้นในช่วงสองสามชั่วโมงสุดท้ายของวันส่งท้ายปีเก่าเท่านั้น
สมมติฐานรีมันน์
สมมติฐานแรกระบุไว้ในปี 1859 สมมติฐานของรีมันน์เป็นหนึ่งในการคาดเดาทางคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่ยังแก้ไม่ตก และใครก็ตามที่ไขข้อนี้ได้จะได้รับรางวัล 1 ล้านดอลลาร์ “นี่เป็นคำถามเปิดที่ใหญ่ที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ คำถามที่จะรับประกันชื่อของคุณเป็นที่รู้จักใน 10,000 ปี” บอร์ไวน์กล่าว
สมมติฐาน ถ้าเป็นจริง มีนัยสำคัญสำหรับการแจกแจงจำนวนเฉพาะ ซึ่งไม่สามารถหารด้วยสิ่งอื่นใดนอกจากตัวมันเองหรือตัวใดตัวหนึ่งไม่ได้ เพื่อทดสอบสมมติฐาน นักคณิตศาสตร์มองหาจำนวนเฉพาะที่ใหญ่มาก ซึ่งมีค่ามากกว่า 10 ยกกำลัง 30 เขากล่าว นั่นอาจฟังดูเป็นนามธรรม แต่ก็มีนัยยะหลายอย่างในโลกแห่งความเป็นจริง Borwein กล่าว “ไพรม์ฝังอยู่ในทุกสิ่งที่เราใช้สำหรับการเข้ารหัส” เขากล่าว “ทั้งหมดนั้นขึ้นอยู่กับสิ่งที่อัลกอริทึมได้รับการออกแบบโดยใช้คุณสมบัติของไพรม์ที่เราคิดว่าจริง แต่ไม่รู้”
จักรวาล
เท่าที่อาร์คิมิดีส นักปรัชญาต่างสงสัยว่าจะมีอนุภาคขนาดเล็กจำนวนเท่าใดในจักรวาล อาร์คิมิดีสคาดการณ์ว่าทรายประมาณ 10 ยกกำลัง 63 เม็ดสามารถเติมเต็มจักรวาลได้ เฮนรี เมนเดลล์ นักประวัติศาสตร์คลาสสิกของอังกฤษกล่าวว่าเขาใช้การประมาณการคร่าวๆ หลายอย่าง เช่น เมล็ดงาดำที่ทำเป็นเม็ดทราย เม็ดทรายที่จะครอบคลุมความยาวของสนามกีฬา และความยาวของสตาเดียระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์ มหาวิทยาลัยรัฐแคลิฟอร์เนีย ลอสแองเจลิส
แม้จะมีมาตรการที่หยาบคาย เขาก็ไม่ไกลเกินไป การประมาณการในปัจจุบันทำให้จำนวนอะตอมทั้งหมดในจักรวาลอยู่ที่ประมาณ 10 ถึง 80
ควอนตัมฟัดจ์แฟคเตอร์
เมื่อไอน์สไตน์นึกถึงสมการสัมพัทธภาพของเขา เขาได้รวมค่าคงที่เล็กๆ ที่เรียกว่าค่าคงที่จักรวาลวิทยาเพื่ออธิบายข้อเท็จจริงที่ว่าจักรวาลนั้นอยู่กับที่ แม้ว่าในเวลาต่อมาเขาจะทิ้งค่าคงที่เมื่อเขารู้ว่าเอกภพกำลังขยายตัว แต่กลับกลายเป็นว่าอัจฉริยะอาจหมายถึงบางสิ่งบางอย่าง: นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าค่าคงที่ของจักรวาลซึ่งมีจำนวนเพียง 10 ยกกำลังลบ 122 เผยให้เห็นเบาะแสของพลังงานมืด ที่กำลังเร่งจักรวาลอย่างลึกลับ Aaronson กล่าว
เฮอร์คิวลิสและไฮดรา
บางครั้งสิ่งต่าง ๆ ต้องใหญ่โตก่อนที่จะเล็ก ในปี 1982 นักคณิตศาสตร์ Jeff Paris และ Laurie Kirby ได้ไขปริศนา: ลองนึกภาพ Hercules ต่อสู้กับ Hydra ที่มีหัวโตเหมือนต้นไม้ ถ้าเขาตัดหัวไปข้างหนึ่งสัตว์ประหลาดในตำนานก็จะงอกออกมาตามจำนวนที่ควบคุมโดยกฎสองสามข้อ น่าแปลกที่ Hercules จะเอาชนะ Hydra ได้ในที่สุดและตัดหัวของ Hydra ออกทั้งหมด
แต่แม้ว่าเฮอร์คิวลิสจะฉลาดและเลือกกลยุทธ์ที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด อันดับแรก Hydra จะเติบโตมากกว่า googolplex ของหัว (หรือ 10 ยกกำลัง 10 ยกกำลัง 100)
Mersenne Premium
Mersenne Primes เป็นคลาสของตัวเลขที่มีจำนวนมากอย่างรวดเร็ว จำนวนเฉพาะเหล่านี้มีค่าเท่ากับ 2 ยกกำลังของจำนวนเฉพาะลบ 1 ในขณะที่จำนวนเฉพาะสองสามตัวแรกเริ่มด้วยจำนวนน้อย — 3, 7, 31 — พวกมันระเบิดจนกลายเป็นจำนวนมหาศาลอย่างรวดเร็วอย่างไม่น่าเชื่อ จนถึงประมาณปี พ.ศ. 2494 รู้จักเพียง 12 ไพรม์เหล่านี้ แต่ภายในปีนี้ มีคนรู้จัก 48 ไพร
นักวิทยาศาสตร์ใช้ Great Internet Mersenne Primes Search (GIMPS) ซึ่งใช้พลังในการคำนวณของผู้ใช้อินเทอร์เน็ตหลายพันคนเพื่อค้นหาจำนวนเฉพาะที่เข้าใจยาก ในการขับเคลื่อนด้วยตัวเลขขนาดมหึมาเหล่านี้ จำนวนเฉพาะ ที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จัก 2^57,885,161 – 1 มีมากกว่า 17 ล้านหลักและถูกค้นพบในปีนี้
สามเหลี่ยมล้านล้าน
เมื่อประมาณ 1,000 ปีที่แล้ว Al Karaji นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียได้ถามถึงจำนวนที่เท่ากันทั้งหมด แต่จำนวนที่เท่ากันคืออะไร? ตัวเลขคือพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาวเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วน ดังนั้นสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 3,4 และ 5 จึงมีพื้นที่ ½ * 3*4 = 6 ทำให้ 6 เป็นจำนวนที่เท่ากัน
ต้องใช้เวลาอีกนับพันปีก่อนที่จะค้นพบตัวเลขที่ตรงกันร้อยอันดับแรก อย่างไรก็ตาม ภายในปี 2552 ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ได้ค้นพบตัวเลขที่ตรงกัน 3,148,379,694 ตัวแรก ตัวเลขเหล่านี้บางส่วนมีขนาดใหญ่มากจนหากเขียนตัวเลขในรูปแบบทศนิยม พวกเขาจะขยายไปถึงดวงจันทร์และด้านหลัง ตัวเลขขนาดมหึมามีความหมายที่น่าสนใจในการจัดเก็บข้อมูล เพราะมันมีขนาดใหญ่มากจนรังสีแกมมาจรจัดสามารถรบกวนบิตในตัวเลขเหล่านี้และทำให้ผิดได้ Borwein กล่าว
เบอร์ของเกรแฮม
ตัวเลขทั้งหมดเหล่านี้ซีดเมื่อเปรียบเทียบกับตัวเลขของ Graham ตัวเลขที่มีขนาดใหญ่มากจนเพียงแค่พยายามจำตัวเลขทั้งหมดจะทำให้หัวของคุณกลายเป็นหลุมดำ จำนวนซึ่ง ณ จุดหนึ่งเป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ เกิดขึ้นเพื่อตอบสนองต่อปริศนาง่ายๆ เกี่ยวกับวิธีการจัดสรรคนให้กับคณะกรรมการชุดหนึ่งโดยมีข้อจำกัดเล็กน้อย
ในขณะที่นักคณิตศาสตร์มั่นใจว่าต้องมีคนแก้ปัญหาอย่างน้อย 13 คน ในปี 1970 นักคณิตศาสตร์และนักเล่นปาหี่ Ronald Graham อนุมานว่าจำนวนคนต้องน้อยกว่าจำนวน Graham การคำนวณจำนวนอย่างง่ายจะใช้เวลา 64 ขั้นตอนและเกี่ยวข้องกับการคูณ 3s จำนวนมากอย่างไม่น่าเชื่อ
ไม่มีทางที่จะเขียนตัวเลขออกมาโดยใช้สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ และต้องเขียนด้วยลูกศรชี้ขึ้นหลายชุดซึ่งแสดงถึงเสาของเลขชี้กำลัง ต่อมา Graham แสดงให้เห็นว่าขอบเขตบนของปริศนานี้มีขนาดเล็กกว่าตัวเลขของ Graham มาก แต่ก็ยังใหญ่อยู่
ต้นไม้(3)
แม้ว่าตัวเลขของ Graham เป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดจำนวนหนึ่งที่เสนอไว้สำหรับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ แต่นักคณิตศาสตร์ก็ยิ่งใหญ่ขึ้นตั้งแต่นั้นมา ในปี 1998 นักตรรกวิทยา ฮาร์วีย์ ฟรีดแมนแห่งมหาวิทยาลัยแห่งรัฐโอไฮโอ เสนอปริศนาที่ถามว่าต้องกำหนดลำดับของตัวอักษรนานเท่าใดจึงจะต้องใช้พารามิเตอร์บางตัวในการเรียงตัวอักษรซ้ำกัน แม้ว่าคำตอบจะไม่ใช่อนันต์ แต่ก็ยิ่งใหญ่มาก
จำนวนฟรีดแมนที่ได้รับ TREE(3) คำนวณโดยการสร้างหอคอยคู่ขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ยกกำลังสองโดยใช้สิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชัน Ackerman เพื่อให้เข้าใจถึงมาตราส่วน ฟังก์ชัน Ackerman ที่สี่เกี่ยวข้องกับการเพิ่มสองยกกำลัง 65,536 สองเท่า แต่ TREE(3) มีขนาดใหญ่มาก ใหญ่กว่านั้นมาก — มากจนทำให้ตัวเลขของ Graham ดูเหมือนฝุ่นที่เล็กที่สุดเมื่อเปรียบเทียบโฆษณา
Friedman เขียนไว้ในบทความของเขาว่า “ภาพเบลอในระดับที่สูงขึ้นนี้ ซึ่งเราไม่สามารถรับรู้ถึงความใหญ่ในระดับหนึ่งจากอีกระดับหนึ่งได้”
